Qui donc connaît les flux et reflux réciproques
de l'infiniment grand et de l'infiniment petit,
le retentissement des causes dans les précipices de l'être,
et les avalanches de la création ?
(Victor Hugo, Les Misérables)

dimanche 6 avril 2014

Formation des grandes structures de l'Univers. Introduction aux instabilités gravitationnelles, I

J'ouvre ici une série de " billets " autour d'un chapitre de la Cosmologie centré sur la formation des grandes structures de l'Univers et, plus spécifiquement, sur le développement des instabilités gravitationnelles qui préside à cette formation. Ce sujet est d'actualité depuis quelques décennies : il est en effet au coeur du lien entre les paramètres fondamentaux de l'expansion de l'Univers et les caractéristiques statistiques des structures observées dans la population des galaxies.

Je souhaite entreprendre pour moi même, et dans le même temps faire partager, une démarche qui amène, pas à pas, à comprendre les problèmes posés, les concepts et outils mis en oeuvre, les résultats obtenus. Mon propos est d'exposer, tel qu'il se déroule en temps réel, les anglais diraient " live ", mon propre cheminement d'appropriation personnelle de ce domaine scientifique précis . Mais j'espère que cet effort de rédaction aidera des lecteurs - disposant de connaissances de base et sciences physiques et en mathématiques - dans leur propre exploration du même thème.

La tentation, lorsque l'on débute ce type de rédaction, c'est de l'inscrire dans un plan préparé à l'avance. C'est précisément ce qu'on est capable de faire après coup, lorsqu'on a bien exploré le domaine, et que l'on en maitrise la géographie. Mais lorsqu'on veut rendre compte de l'exploration elle même, telle qu'elle se déroule, cette inscription cartésienne n'est pas possible. La seule chose que je sais à l'avance, est que le sujet est complexe : plusieurs entrées sont possibles, des modèles simples s'avèrent utiles dans un premier temps mais doivent être progressivement modulés et enrichis.  Et des retours en arrière, des corrections rétrospectives ne sont pas à exclure, s'avèreront même partie normale du processus. Alors, ouvrons la barrière, franchissons la frontière, et avançons lentement, pour le moment. 

Les sources


Je travaille sur ces questions à partir de plusieurs documents, cours du Master Astrophysique de l'Université Pierre et Marie Curie, Ouvrages, Articles publiés dans les revues concernées. Je les citerai au fur et à mesure, mais je mentionne dès à présent deux ouvrages :
  • Patrick Peter et Jean-Philippe Uzan. Cosmologie primordiale. Editions Belin, 2005
  • Francis Bernardeau. Cosmologie, Des fondements théoriques aux observations. EDP Sciences/CNRS Editions, 2007
Comme le montre un rapide coup d'oeil sur ces documents, il s'agit d'ouvrages destinés à des étudiants et chercheurs au fait des formalismes mathématiques et méthodes d'analyse utilisés en Cosmologie. Il s'agira donc au bout du compte, de dégager l'architecture des raisonnements, sans rompre toutefois le lien avec le soubassement technique, mais en le plaçant en arrière plan. Une sorte de changement d'échelle en quelque sorte, maintenant constamment la possibilité de zooms vers les développements détaillés.



Billet N° 1 : Instabilités gravitationnelles : premiers pas ...

Dynamique des fluides compressibles.



Les pages 230 et 231 du livre de Jean-Philippe Uzan donnent une première clé. Les instabilités gravitationnelles primitives sont vues - dans un modèle très simple - comme se développant dans un "fluide" relativement homogène s'étendant partout dans l'espace. Aucune structure vraiment macroscopique n'est véritablement déjà formée. On imagine bien que si ce fluide était uniformément réparti, autrement dit parfaitement homogène, parfaitement immobile, rien ne se passerait. Mais si en quelque endroit, il y a une petite " surdensité ", un peu plus de matière qu'ailleurs, ou bien au contraire une petite dépression, des mouvements vont se produire, une dynamique va se développer.

Le fluide cosmique, un gaz parfait ?


Pour comprendre quelle va être cette dynamique, nous avons besoin de modèles, c.a.d de variables et d'équations, qui traduiront les forces en jeu et leurs effets. Le premier modèle qui vient à l'esprit assimile ce fluide cosmique à un gaz - un fluide "compressible", à la différence de l'eau liquide par exemple, fluide incompressible - s'étendant dans l'espace que nous connaissons, l'espace ordinaire en trois dimensions. Et c'est à partir de ce modèle simple de gaz, voire même de " gaz parfait ", que j'ai souhaité commencer : il m'a permis en effet de me re-familiariser avec des notions et techniques indispensables pour la compréhension de la suite : notions de base en thermodynamique, notations modernes utilisées dans la description mathématique des lois contrôlant la dynamique des " champs " de densités, de pressions, etc, concernés.

Un point de départ - les équations de Navier-Stokes 


Dans ce premier billet, je prends comme base de départ la dynamique spatialisée des fluides compressibles, telle que décrite par les équations de Navier Stokes. J'applique pour l'instant une première simplification majeure en négligeant les forces de viscosité, ce qui n'a pas de grandes conséquences ici. Mais, dans ma démarche d'exploration progressive, je vais aussi négliger, dans cette première étape, les forces de gravitation, pourtant essentielles ; elles seront introduites dans le prochain billet.

Les équations qui décrivent la dynamique du gaz sont des équations prenant en compte des variables que j'arrête ici au nombre de cinq.  On les appelle "variables" car ce sont des grandeurs, des quantités, qui se modifient au cours du temps. Mais ce sont des grandeurs particulières, puisqu'il s'agit de grandeurs qui prennent à un instant donné une valeur possiblement différente dans chaque point de l'espace. En mathématiques on appelle de telles grandeurs des champs.
  • le champ des densités de masse (masses de gaz par unité de volume)
  • le champ des vitesses (en chaque point un vecteur, matérialisant la direction et la vitesse du courant
  • le champ des pressions. 
  • le champ des énergies internes par unité de masse
  • le champ des températures. 
Ces cinq champs décrivent l'état du système - ici le fluide - à chaque instant.
L'emploi du pluriel - champ des densités, etc - me paraît plus conforme à la nature de ce que désigne le terme de champ dans ce contexte, une multitude des valeurs - en fait une infinité - chacune associée à un point - une position, un lieu - de l'espace, comme déjà dit. Cependant, pour désigner la valeur prise en un point particulier nous utiliserons le singulier : valeur de la densité en ... ou simplement la densité en ...

Notations


L'habitude a été prise, dans la " littérature " concernée,  de noter ces champs par certaines lettres : le champ des densités par la lettre grecque rho ; celui des vitesses par la lettre v surmontée par une petite flèche, pour indiquer qu'il s'agit d'un vecteur, c.a.d. non seulement un nombre, mais aussi une direction dans l'espace ; celui des pressions par la lettre p ; celui des énergies internes par la lettre u, celui des températures par la lettre majuscule T.

Un point de l'espace (une position, un lieu, j'emploierai indifféremment l'un de ces termes) est traditionnellement noté r.  Un instant (dans le temps) est noté t. Mais ces lettres apparaissent peu dans les équations, car elles sont omises pour simplifier les écritures. Ainsi par exemple la lettre p désigne t-elle la valeur du champ de pression en un lieu r à l'instant t, c'est une notation abrégée allégeant la notation complète qui s'écrirait  p(r,t)

Que disent les équations ?


Toute équation exprime des "contraintes" sur les variables qu'elle prend en compte. Contraintes restreignant les valeurs qu'elles peuvent prendre conjointement, autrement dit rendant ces valeurs interdépendantes. Ainsi dans notre contexte, les équations imposent des lois,  donc des limites à la diversité des évolutions possibles des cinq champs. Lorsqu'elles sont en nombre suffisant, elles fixent entièrement le cours des choses. On dira qu'elles déterminent la dynamique du système.

Si effectivement cinq champs sont en jeu, on doit s'attendre à ce que les équations nécessaires pour déterminer complètement la dynamique soient également au nombre de cinq : cinq inconnues exigent pour les calculer cinq équations. Il y a bien en effet cinq équations - deux équations d'état et trois équations de bilan

Les deux équations d'état


Les équations d'état sont les plus simples. Comme leur nom l'indique, elles contraignent à chaque instant l'état du système : elles décrivent des interdépendances nécessaires entre les valeurs de certaines variables prises sur un même lieu à un même instant. Elles proviennent de la théorie cinétique des gaz, et je les expose ici en considérant que les gaz en question sont des gaz parfaits

La première de ces équations relie ainsi l'énergie interne et la température. La seconde est une réécriture dans le présent contexte d'une loi bien connue depuis nos études secondaires, la loi de Mariotte. Elle relie valeurs de température, de pression et de densité. Examinons successivement ces deux liens.

• Lien entre énergie interne et température. L'énergie interne d'un certain ensemble de particules est en fait elle même la somme de deux énergies de types différents.  
  • La première sorte d'énergie est liée à l'agitation thermique des particules de gaz, proportionnelle à la température. C'est une somme d'énergies cinétiques - du grec kinétikos, mouvement. Cette somme mesure l'intensité des mouvements microscopiques, mouvements d'agitation désordonnée présente dans le gaz au lieu et à l'instant considérés. Il faut bien distinguer entre 1) cette agitation désordonnée des particules de gaz et 2) leur mouvement d'ensemble ou mouvement macroscopique, mesuré, toujours au lieu et à l'instant considérés, par la vitesse du courant qui entraine le gaz dans une direction donnée. J'y reviendrai à propos des équations de bilan.
  • La seconde sorte d'énergie est une somme d'énergies internes à chaque particule. Ces énergies existent indépendamment des mouvements microscopiques ; elles dépendent de la nature des particules, de leur complexité : elles seront plus élevées par exemple pour des gaz moléculaires dont les molécules comportent un grand nombre d'atomes. 
Pour calculer l'énergie interne totale et établir le lien final avec la température, un principe d'équipartition de l'énergie vient en aide :
De la température à l'énergie interne
pour un gaz parfait 
Lorsque l'on chauffe un volume de gaz, l'énergie apportée se répartit de façon égale entre les différents types d'énergie interne, à raison du poids de chacun lié à son nombre de degrés de liberté  : trois degrés de liberté pour l'énergie du mouvement d'agitation désordonnée (les trois directions de l'espace dans lequel les particules peuvent se mouvoir) ; deux degrés pour l'énergie interne d'une molécule d'un gaz parfait diatomique, à savoir comportant 2 atomes (les deux paramètres angulaires spécifiant l'orientation de l'axe reliant les deux atomes). En fin de compte, pour les gaz parfaits, l'énergie interne totale est proportionnelle au nombre des particules et à la température, dans une relation où interviennent le nombre des degrés de liberté et la constante de Boltzman


Au final, énergie interne, pression, densité
• Lien entre température, pression et densité. L'équation d'état des gaz parfaits, telle que nous l'avons apprise, relie la pression, le volume d'une masse de gaz, le nombre de particules constituant cette masse et la température. Ramenée en terme de densité - une masse par unité de volume - elle devient une relation entre pression, densité et température, ou, réécrite dans un autre sens, température, pression et densité



 La combinaison des deux liens (énergie interne et température, puis température, pression et densité) ramène l'énergie interne à une formule où n'interviennent donc que la pression et la densité.  

Les trois équations de bilan

 

Les équations de bilan expriment également des contraintes, mais de façon plus complexe. Elles ne se contentent pas en effet d'imposer de simples relations entre les variables à chaque instant. Elles contraignent la manière dont les variables se modifient - augmentent ou diminuent-elles beaucoup, peu, pas du tout ? - lorsque l'on passe d'un instant à un autre et d'un lieu à un autre. Par exemple elles  fixeront la rapidité avec laquelle l'énergie interne évolue dans le temps sur une position donnée, ce, en fonction de la valeur des divers champs sur et autour de cette même position. On sait qu'en mathématique, cette mesure de la capacité d'une grandeur à se modifier en fonction d'une autre s'exprime par ce qu'on appelle une dérivée. Ici donc, on trouvera des dérivées par rapport au temps, et par rapport aux trois dimensions de l'espace. Les équations de bilan sont des équations aux dérivées partielles.

L'emploi du mot bilan n'est pas là par hasard : il désigne par ailleurs une nature et aussi une structure d'équation particulière, où interviennent la valeur d'un solde, et son origine en terme d'apports et de pertes. Une équation de bilan s'écrit-elle ainsi avec une partie gauche et une partie droite, séparée par le signe " = " .
  • Dans la partie gauche de l'équation figure le solde, savoir dans ce contexte la dynamique plus ou moins forte d'une certaine variable, son augmentation ou sa diminution plus ou moins rapide dans le temps (donc, notamment, une dérivée par rapport au temps). 
  • Dans la partie droite de l'équation figurent les apports et les pertes cause de cette dynamique, apports ou pertes déterminés par la valeur des champs dans l'environnement proche (donc, notamment, des dérivées par rapport aux directions de l'espace). 
Bien entendu, une même équation peut être écrite ou transformée de différentes manières. Ne nous attachons donc pas à la lettre de cette structure, mais à son esprit et venons en maintenant au contenu des trois équations.
• Première équation, Bilan de matière : la première équation - dite équation de continuité - exprime la conservation de la matière : la variation dans le temps de la densité du gaz en chaque point (ce que j'ai appelé plus haut la partie gauche du bilan, le solde) est égale (partie droite) au bilan des flux arrivant ou partant de ce point.

Le bilan de matière relie les champs de densités et de vitesses

• Seconde équation, Bilan de quantité de mouvement : la seconde équation - dite équation d'Euler  du nom du grand mathématicien suisse du XVIII siècle, fait le lien entre :
  • l'accélération positive ou négative du fluide en un point (partie gauche du bilan) 
  • les forces qui agissent en ce point (partie droite), savoir, en l'absence de viscosité et de gravitation, les forces résultantes des variations de pression (on dit du gradient de pression) en ce même point. Ainsi un fort différentiel de pression en un point, dans une certaine direction, fait évidemment naître un courant dans la même direction, c'est cette observation que formalise l'équation d'Euler. Nous en avons une idée chaque jour avec le bulletin météo, avec la venue des dépressions et des tempêtes, dans une dynamique évidemment bien plus complexe.    
Le bilan de quantité de mouvement relie les champs de vitesses, de densités et de pressions.

• Troisième équation, Bilan d'énergie : La troisième équation exprime en chaque point le bilan des apports et des pertes d'énergie. Mais ce bilan global se divise en deux autres équations de bilan, nommons les ici A et B, s'appliquant chacun à une forme d'énergie particulière :
La première forme d'énergie est l'énergie du mouvement d'ensemble - on dit aussi énergie cinétique macroscopique - de la masse de gaz présente autour du point considéré. Elle est liée à la vitesse du courant sur cette position. Sa dynamique est décrite par l'équation A qui la relie à sa cause, savoir les variations locales de pression.
La seconde forme d'énergie est l'énergie interne de la même masse, énergie qui existerait même si le fluide était macroscopiquement immobile (vitesse du courant nulle) et dont j'ai déjà expliqué la nature. L'équation B donne le lien entre 
  • partie gauche, la dynamique de cette énergie interne (rapportée à l'unité de masse), c.a.d la rapidité de sa variation dans le temps.
  • partie droite, deux apports ou pertes d'énergie de nature distincte : 1) expansion ou (compression) locale du fluide et 2) intensité du transfert thermique (apport ou perte de chaleur), transfert lié aux variations locales de températures. 
Le bilan de l'énergie cinétique macroscopique n'apporte en fait rien de plus - aucune contrainte supplémentaire - que celles déjà exprimées par les bilans de matière et de quantités de mouvement. On peut le montrer mathématiquement par quelques manipulations simples, et on peut donc légitimement l'oublier.

Le bilan de l'énergie interne s'avère donc le seul utile. Ecrit dans une version "brute", il  introduit une contrainte sur les cinq champs : énergies internes (rapportées à l'unité de masse), densités, vitesses, pressions, et températures.

En conclusion voici donc, écrites dans les notations " modernes " utilisant pour noter les variations spatiales l'opérateur de dérivation partielle " nabla " (triangle renversé), les trois équations de bilan :
 
Les trois bilans d'un fluide compressible sans viscosité ni gravitation

Avec les deux équations d'état, nous avons bien cinq équations, déterminant complètement l'évolution du fluide matérialisé par les cinq champs. 

Une simplification bien utile


On pourrait en rester là, mais il est utile de poser une simplification rendue mathématiquement possible par la forme des équations d'état.  Cette simplification consiste à remplacer dans la dernière équation de bilan la température (T) par son expression en fonction de l'énergie interne par unité de masse (u), puis à remplacer cette l'énergie interne par son expression en terme de pression et de densité. Ces remplacements successifs aboutissent évidemment à éliminer les deux champs d'énergies et de températures, en ne gardant au bout du compte que les trois champs de densités, de vitesses et de pressions, avec trois équations pour en contrôler le cours.

En effectuant cette simplification, nous adoptons de plus, et indépendamment de ces manipulations purement mathématiques, une hypothèse physique que nous garderons dans la suite.  Dans le bilan d'énergie interne ci dessus, la température intervient par l'intermédiaire d'un solde de transfert de chaleur (transfert thermique) lié aux différences locales de température et à la conductivité thermique du gaz.  Ce terme de transfert ne va plus nous occuper, car le facteur de conductivité thermique (ici noté lambda) est considéré dans l'hypothèse adoptée comme nul ou très petit. Les flux thermiques sont alors très lents par rapport aux autres phénomènes et sont négligeables : la dynamique du gaz est une dynamique adiabatique.

En appliquant cette simplification mathématique et cette hypothèse physique, la dynamique du fluide s'écrit finalement :


    Système fermé d'équations d'une dynamique adiabatique sans viscosité ni gravitation



    Dans le prochain billet, nous repartirons de ces équations en y ajoutant les forces de gravité, en y incluant les conditions particulières du fluide cosmique et en les replaçant dans un espace en expansion.

3 commentaires:

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  2. Je cherche à raccrocher les wagons avec le cours de MHD ( équations d'état, ∂ρ/∂t+∇·(ρv) = 0....), dans lequel on n'utilisait que le langage des équations, à mon grand désespoir ...Il est vrai que je n'ai pas les prérequis, ce pourquoi tes explications me sont précieuses

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